奔驰定理

已知点\(\,P\,\)是\(\,\triangle ABC\,\)内的一点,证明:\[S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PA}+S_{\triangle APC}\cdot\overrightarrow{PB}+S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PC}=\bm0.\]


证明\(\quad\)延长\(\,AP\,\)交\(\,BC\,\)于\(\,D\,\)点,长得像奔驰标志的三角形那么根据共线的向量表达,就有
\begin{align*}
\overrightarrow{AD}&=\dfrac{CD}{BC}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{BD}{BC}\cdot\overrightarrow{AC}\\
&=\dfrac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}\cdot\overrightarrow{AC}\\
&=\dfrac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}}\cdot\overrightarrow{AC},
\end{align*}另一方面,我们有\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}}{S_{\triangle ABC}}\cdot\overrightarrow{AD},\]所以
\begin{align*}
S_{\triangle ABC}\cdot\overrightarrow{AP}&=S_{\triangle APC}\cdot\overrightarrow{AB}+S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
&=S_{\triangle APC}\cdot\left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}\right)+S_{\triangle APB}\cdot\left(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC}\right),\end{align*}移项即得\[S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PA}+S_{\triangle APC}\cdot\overrightarrow{PB}+S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PC}=\bm0.\]

事实上,我们熟知,如果点\(\,P\,\)是\(\,\triangle ABC\,\)的重心,那么有\[\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\bm0,\]因此,我们可以尝试将一般的点\(\,P\,\)转换成某个三角形的重心.

拉长后的像奔驰标志的三角形

证明\(\quad\)在\(\,\triangle ABC\,\)所在平面中取点\(\,A’,B’,C’\,\)使得\[\overrightarrow{PA’}=S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB’}=S_{\triangle APC}\cdot\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC’}=S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PC},\]那么
\begin{align*}
S_{\triangle A’PB’}&=\dfrac12PA’\cdot PB’\\
&=\dfrac12S_{\triangle APB}\cdot PA\cdot S_{\triangle APC}\cdot PB\\
&=S_{\triangle APB}\cdot S_{\triangle APC}\cdot S_{\triangle BPC}.
\end{align*}同样地,可以得到\[S_{\triangle A’PC’}=S_{\triangle B’PC’}=S_{\triangle APB}\cdot S_{\triangle APC}\cdot S_{\triangle BPC}.\]因此\[S_{\triangle A’PB’}=S_{\triangle A’PC’}=S_{\triangle B’PC’},\]从而点\(\,P\,\)是\(\,\triangle A’B’C’\,\)的重心,进而\[\overrightarrow{PA’}+\overrightarrow{PB’}+\overrightarrow{PC’}=\bm0,\]亦即\[S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PA}+S_{\triangle APC}\cdot\overrightarrow{PB}+S_{\triangle APB}\cdot\overrightarrow{PC}=\bm0.\]


根据三角形的“五心”带来的面积关系,我们很容易得到如下推论.

推论\(\quad\)对于\(\,\triangle ABC\,\)的重心\(\,G\,\),有\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\bm0.\]对于\(\,\triangle ABC\,\)的内心\(\,I\,\),有\[a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=\bm0,\]或者\[\sin A\cdot\overrightarrow{IA}+\sin B\cdot\overrightarrow{IB}+\sin C\cdot\overrightarrow{IC}=\bm0.\]对于\(\,\triangle ABC\,\)的外心\(\,O\,\),有\[\sin2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2C\cdot\overrightarrow{OC}=\bm0.\]对于非直角\(\,\triangle ABC\,\)的垂心\(\,H\,\),有\[\tan A\cdot\overrightarrow{HA}+\tan B\cdot\overrightarrow{HB}+\tan C\cdot\overrightarrow{HC}=\bm0.\]对于\(\,\triangle ABC\,\)的旁心\(\,I_A\,\),有\[-\sin A\cdot\overrightarrow{I_AA}+\sin B\cdot\overrightarrow{I_AB}+\sin C\cdot\overrightarrow{I_AC}=\bm 0.\]


\(\quad\)这个命题是平面中的一个非常优美的结论,因其图形长得像奔驰的标志,一般被叫做奔驰定理

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